рограмма вступительных экзаменов

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В
АСПИРАНТУРУ
ФАКУЛЬТЕТА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
05.13.18
Программа экзамена включает в себя обязательную часть и дополнительную, которая предоставляется научным руководителем.

Обязательная часть включает следующие разделы

  1. Математический анализ

    Теория пределов. Основные теоремы о непрерывных функциях. Теорема о среднем. Теорема о неявной функции. Формула Тейлора. Основные теоремы интегрального исчисления (замена переменных, метод интегрирования по частям, интегрирование рациональных функций). Числовые ряды (признаки сходимости знакопостоянных и знакопеременных рядов). Функциональные ряды. Степенные ряды. Ряды Фурье (вычисление коэффициентов).

  2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

    Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения и нормальной системы. Линейное уравнение n-го порядка. Построение общего решения линейного уравнения. Неоднородные линейные системы. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

  3. Алгебра

    Комплексные числа, поля. Метод Гаусса. Определители n-го порядка. Основные методы вычислений определителей. База и ранг системы векторов. Координаты вектора в базе. Преобразование координат векторов при смене базы пространства. Операции над матрицами. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение системы линейных уравнений. Связь решений общей и однородной систем линейных уравнений. Однородные системы (пространство решений, фундаментальные системы решений). Собственные векторы и собственные числа матрицы. Разложение на неприводимые множители. Корни полиномов. Основная теорема о многочленах с комплексными коэффициентами.

  4. Геометрия

    Формулы замены координат при переходе от одной декартовой системы координат к другой. Вычисление скалярных произведений, длин отрезков, углов. Линии и поверхности 1-го и 2-го порядка.

  5. Теория вероятностей и математическая статистика

    Случайные события и случайные величины. Аксиоматическое определение вероятности события. Условные вероятности. Независимость событий. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин (дисперсия и математическое ожидание). Выборка и методы ее представления. Числовые характеристики выборочного распределения (мода, медиана, среднее, дисперсия). Неравенство Чебышева.

  6. Численные методы

    Интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа. Численное дифференцирование и интегрирование. Метод итераций решения систем линейных уравнений. Метод Зейделя. Метод конечных разностей решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

  7. Вычислительный эксперимент

    Принципы проведения вычислительного эксперимента. Модель, алгоритм, программа.

  8. Алгоритмические языки

    Представление о языках программирования высокого уровня. Пакеты прикладных программ.

Литература
  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:, Наука, 1969 г.
  • Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:, Наука, 1970 г.
  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:, Наука, 1971 г.
  • Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:, Физматлит, 2002
  • Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1984.
  • Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
  • Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
  • Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997.
  • Математическое моделирование / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1993.